平方速算
平方是考试里出现频率最高的“伪装成乘法的送分题”。只需两条路线：尾数 5 用固定模式，任意数用就近取整。
1. 路线一：尾数是 5 的平方
口诀：首位 ×（首位+1），后面直接挂 25
- 65² → 6 × 7 = 42，挂 25 → 4225
- 85² → 8 × 9 = 72 → 7225
- 115² → 11 × 12 = 132 → 13225
- 995² → 99 × 100 = 9900 → 990025
为什么成立：设数为 10n+5，(10n+5)² = 100n(n+1) + 25——前半部分正好是 n(n+1)，后两位固定 25。
2. 路线二：任意数的平方（就近取整法）
用差平方公式的变形：n² = (n−k)(n+k) + k²，其中 k 是“距离最近整十数的差”。
例一：23² = 529
- 23 距 20 差 3，取 k = 3
- 20 × 26 = 520
- 加上 k² = 9
- 520 + 9 = 529
例二：43² = 1849
- 43 距 40 差 3 → 40 × 46 = 1840
- 1840 + 9 = 1849
就近选 40 或 50 都行，选差距小的那个。43 用 40（k=3）比用 50（k=7，要算 49²）快得多。
例三：98² = 9604（大数到整百）
98 距 100 差 2 → 100 × 96 = 9600，+ 4 = 9604。同理 997² = 1000 × 994 + 9 = 994009。
3. 应该用哪条路线？
| 数的形状 | 用哪条 | 理由 |
|---|---|---|
| 尾数是 5 | 尾数 5 法 | 两步到位，快到没有更快 |
| 末位是 1、2、8、9 | 就近取整法 | 取整后 k 很小，k² 在 4 以内 |
| 中间数（尾数 4、5、6） | 视情况用拆分法 (50+3)² | 50² + 2×50×3 + 3² 三步内完成 |
| 整百附近（如 96~104） | 就近取整法 | k 小且整百乘法极快 |
4. 实时演示
输入一个数，自动选择最快的路线
5. 练习题
练习一：尾数 5
35² 45² 55² 75² 95² 105² 225²
答案：1225 2025 3025 5625 9025 11025 50625
练习二：就近取整
21² 27² 48² 72² 91² 198²
答案：441 729 2304 5184 8281 39204
例：48² → 50×46 + 4 = 2300 + 4 = 2304；198² → 200×196 + 4 = 39204。
练习三：混合与 DS 校验
① 65² ② 87² ③ 123²
答案：① 4225 ② 7569（= 90×84 + 9） ③ 15129
DS 校验：① DS(65)=11→2，2²=4，DS(4225)=13→4 ✓ ② DS(87)=15→6，6²=36→9，DS(7569)=27→9 ✓ ③ DS(123)=6，36→9，DS(15129)=18→9 ✓
下一步
把平方和乘法合并起来，就是两位数乘法的主力方法：桥式乘法 →